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응용수학 17, 인구 변화율이 인구 자체에 비례한다고 가정 물리학에 대한 지식에 의존하지 않는 상황을 생각해 봅시다. 같은 환경에서 먹이와 포식자의 매우 단순한 상호 작용, 토끼와 늑대가 말합니다. 우리의 이상적인 세계에서, 토끼들은 그들이 원하는 만큼의 음식을 가지고 있고 늑대들은 오직 토끼 집단에게 영양분을 의존할 수 있습니다. 우리는 늑대가 없다면, 토끼 수는 자연스럽게 제한 없이 늘어날 것이라고 추측한다. 토끼 한쌍이 새로운 토끼를 만들 수 있기 때문에, 성장률은 개체 수 자체에 비례합니다. 이것은 1859년 호주에서 4마리의 토끼가 풀려났을 때 일어난 일입니다. 그 당시에 '몇몇 토끼들의 등장은 사냥의 흔적과 더불어 해를 끼치지 않을 수도 있고 약간의 집을 제공할 수도 있다'고 말했다. 모집단이 충분히 크면 시간 t당 토끼 모집단을 제공하는 연속 가변 .. 2022. 12. 28.
응용수학 18, 수치 해석 이 방정식의 집합으로 이어지는 추론은 매우 사소하다. 토끼는 번식하고 늑대는 토끼를 먹고 늑대는 먹을 토끼 없이 죽는다. 우리는 이러한 가정들을 가장 간단한 가능한 구조로 수학적으로 표현해 왔다. 이제, 우리는 두 집단에게 무슨 일이 일어나는가에 대해 비-트리비컬 질문을 던질 수 있습니다. 이 문제는 미분 방정식의 시스템을 분석해야만 답할 수 있다. 우리의 경우, 그 시스템은 복잡한 기능의 측면에서 정확하게 해결될 수 있을 정도로 충분히 간단하다. 그러나 이 정확한 해결책은 특별히 밝지는 않다. 좀 더 생산적인 접근법은 두 집단이 균형을 이루고 있는 단순한 해결책을 찾는 데 있다. R과 W가 모두 일정한 경우, 즉 R=W=0또는 Req=β/Re, Weq=α/h일 때 이러한 상황이 발생한다. 첫번째 경우는.. 2022. 12. 28.
응용수학 19, 혼돈토끼 미분 방정식에서 이 근사치를 대입하여 구할 수 있다. 이 등식의 핵심 특징은 시간 t에서 R을 알고 변수 R의 값을 구하기 위해 t+Δt를 구할 수 있다는 것이다. 예를 들어, R=1로 시작하고α=1/2을 사용하면Δt=0.1을 R(0+0.1)=1(1+1/2×0.1)으로 구할 수 있다. 이제 이 과정을 반복할 수 있다. 값은 t=0.2asR(0.1+0.1)=R(0.1)(1+1/2×0.1)=1.05×1.05 등이다. 미분 방정식의 정의로부터, 나는 미분 방정식의 해법을 얻기 위한 단순한 숫자 알고리즘을 도출했다. R과 W.에 대해 결합된 시스템의 수치 솔루션을 계산하는 데 동일한 프로세스를 사용할 수 있으며, 두 모집단의 초기 값부터 시작하여, 원칙적으로 솔루션 a를 얻을 수 있다. 나중에 하지만 우리는 여.. 2022. 12. 28.
응용수학 20, 다른 과학 사이의 흥미로운 상호 작용 세 가지 변수로 구성된 시스템은 어떤가? 응용 수학의 큰 놀라움 중 하나는 세 개의 변수를 가진 역동적인 시스템의 경우 위상 공간에 그려진 곡선이 매우 복잡할 수 있다는 발견이었다. 고정된 지점과 주기적인 궤도를 제외하고, 혼돈된 궤도로 알려진 복잡한 해결책이 있다. 그러한 궤도의 가능성을 설명하기 위해, 우리는 로트카-볼테라 시스템으로 돌아가 또 다른 포식자를 추가한다고 여우는 말한다. 우리의 새로운 시스템은 지금 읽는다. 여기서 α, β, γ은 일정한 양의 매개변수이고 F는 여우 집단을 나타낸다. 이 매개 변수들이 사라지면, 우리는 우리의 최초의 Lotka-Volterra시스템을 복구한다. 이 시스템은 특정한 생태 시스템의 모델이 되기 위한 것이 아니다. 대신, 역학 시스템에서 찾을 수 있는 해결책의.. 2022. 12. 28.