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시간에 의존하는 열 확산

by sbsnewstech 2023. 1. 8.

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단위의 구체적인 선택은 우리의 문제에 중요하지 않다.

중요한 것은 공통된 차원을 공유하는 다른 양들을 비교하는 것이다. 내가 추정치를 얻고 싶기 때문에, 약간의 계산이 보여질 것이지만 독자들은 이러한 세부 사항들에 대해 과도하게 걱정하지 말아야 하고 결론을 건너뛰어도 된다.

문제의 경우, 시간의 차원을 포함하는 유일한 변수는 역을 통한 시간에 의존하는 열 확산이다. 명시적으로, diffusivility의 역은 시간 분배 p이다.  우리는 새를 요리하는 데 필요한 시간에 관심이 있기 때문에, 문제의 어떤 시간도 그 반대를 통한 열 확산과 관련이 있어야 한다. 즉, 조리 시간은 다음과 같은 형태여야 한다.

여기서 g는 나열된 인수에만 의존하는 함수이다. 그러나 방정식 왼쪽에 있는 수량 tM는 시간의 치수를 가지고 있으므로 오른쪽에 수량이 있어야 한다. 따라서 함수 g은 열 확산의 길이 의존성을 취소하기 위해 길이 제곱의 치수를 가져야 한다. 그러나 g의 변수에서 사용할 수 있는 길이는 R이므로 남아 있는 알 수 없는 기능 h는 온도에만 의존하지만 자체 치수는 결정하지 않으므로, 핵비(단위 없음)로 표시되는 온도 비율에만 의존할 수 있습니다. mber는 단위가 없는 숫자입니다). 특히, 이 치수 없는 숫자는 새의 질량과 독립적이어야 한다. 이 관계가 우리에게 무엇을 말해 주는가? 열 확산성, 오븐, 초기 온도 등을 조절하면 반경 제곱에 따라 조리 시간이 늘어납니다. 하지만, 고정된 밀도에서, 반지름은 질량의 입방체 루트에 따라 다르다.

그래서 우리는 쓸 수 있다.

질량에 의존하지 않는 곳 우리의 가정에 따르면, 밀도 ρ은 일정하며 온도 Ti와 To도 그렇다. 그러므로 C는 우리의 실험에서 일정하다. SI 단위를 현명하게 고르고, 나는 5kg과 10kg의 칠면조를 가지고 있다.

C를 모르면 요즘을 찾을 수 없다. 그러나 두 번의 비율은 매우 간단하여 다른 한 번에서 하나를 찾을 수 있다.

나는 만약 내가 5 kg의 칠면조의 요리 시간이 약 시간이라는 것을 안다면, 10 kg 칠면조의 요리 시간은 t10 = 22/3t5 ≈ 4 시간이라고 결론짓는다. 같은 추리에 따라, 나는 통통하고 즙이 많은 100kg의 타조가 잘 익고 먹기에 안전할 때까지 몇 시간밖에 안 걸릴 것이라는 것을 매우 안도하며 배운다. 내 500kg짜리 박제 낙타를 같은 오븐에서 요리하려면 얼마나 걸릴까?

아주 간단한 치수 논쟁을 이용하여 나는 내 질문에 대한 부분적인 답을 발견했다. 그리고 비록 그것이 좋은 시작이지만, 나는 여전히 전체 그림을 이해하는 데 있어 멀었다. 매개변수의 함수로서 실제 조리시간을 알고 싶다면 구의 모든 지점과 모든 시간 e에서 온도의 진화를 설명하는 보다 정교한 모델이 필요하다. 이 과정을 설명하는 기본적인 미분방정식은 물질에서 열의 수송을 수학적으로 표현하기 때문에 열방정식으로 알려져 있다. 그것의 해결책을 찾으려면 4장에서 논의될 응용 수학의 몇 가지 방법이 필요하다.

18세기 정치 풍자 걸리버의 여행에서 조나단 스위프트는 걸리버가 일반 인간보다 12배나 작은 리리푸트를 방문한 것을 묘사한다. 이 릴리푸트인들은 그 규모 외에도 예측 가능한 정치적 습관에서도 인간과 모든 면에서 동일하다. 그런 작은 인간들의 존재는 타당한 것일까?

포유류는 더 시원한 환경에서 일정한 온도를 유지하기 위해 에너지를 사용하는 온혈동물이다. 열의 관점에서 보면, 우리는 포유류를 칠면조처럼 생각할 수 있습니다. 오븐의 역 방향에서는 열원이 칠면조 안에 있는 곳이죠. 우리는 칠면조가 노출된 표면을 통해 열을 얻는 것과 같은 방법으로 우리 몸의 표면을 통해 열을 잃습니다. 우리는 칠면조 실험을 통해 열 취득이 표면적에 비례한다는 것을 배웠다. 따라서, 작은 포유류들은 단위 질량당 그들의 면적이 더 크기 때문에 더 큰 포유 동물들보다 더 많은 열을 잃습니다. 같은 방법으로, 1킬로그램의 작은 칠면조를 1킬로그램의 큰 칠면조보다 요리하는데 더 적은 시간이 걸리는 것처럼, 작은 사람은 큰 칠면조보다 더 빨리 열을 잃을 것입니다. 실제로, 내부 열원이 없을 경우, Lilliputian은 외부 온도 122=평균적인 크기의 사람보다 144배나 더 빠르게 냉각될 것이다. 열은 물체의 표면을 통해 교환된다). 따라서 12배 작은 물체는 122배 빠른 속도로 열을 잃는다. 이 간단한 스케일링 원칙은 왜 가장 작은 포유 동물이 체온을 유지하기 위해서는 큰 포유 동물에 비해 신진대사가 매우 빨라야 하는지를 설명해 줍니다. stant. 이것은 또한 왜 인간 생리학을 가진 불행한 Lillipahian이 추운 기후에서 저 체온증과 따뜻한 기후에서의 과열로 빠르게 죽는지를 설명해 준다.

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